🤔🤔🤔🤔🤔🤔🤔

خب، بریم سراغ حل این مسئله‌ی ریاضی. اول از همه، بیایید ببینیم سوال چی می‌خواد و بعد قدم به قدم جلو بریم.

اول یه نگاهی به سوال بندازیم. سوال در مورد یه مثلثه به اسم ABC و سه تا نقطه که مختصاتشون داده شده: A، B و C. حالا یه خط عمود از راس A به ضلع BC کشیده‌اند و اسم این خط رو گذاشتند AH. سوال می‌خواد که ما مختصات نقطه‌ی H رو پیدا کنیم. یعنی دقیقاً چه چیزی رو باید پیدا کنیم؟ باید بفهمیم نقطه‌ی H روی صفحه مختصات کجا قرار داره.

حالا بیایید ببینیم چطوری می‌تونیم این مسئله رو حل کنیم. این مسئله ترکیبی از چند تا مفهوم ریاضیه:

• مختصات نقاط: هر نقطه روی صفحه مختصات با دو عدد مشخص میشه که بهشون میگیم x و y. مثلاً نقطه‌ی A(۲, ۳) یعنی x اون نقطه ۲ و y اون نقطه ۳ هست.
• شیب خط: شیب خط نشون میده که خط چقدر تند یا کند بالا میره. اگه شیب مثبت باشه، خط به سمت بالاست و اگه شیب منفی باشه، خط به سمت پایین میره.
• عمود بودن دو خط: دو خطی که عمود بر هم هستن، یعنی زاویه‌ی ۹۰ درجه با هم می‌سازن. یه قانون مهم اینه که اگه شیب یه خط m باشه، شیب خط عمود بر اون منفی معکوس m هست. یعنی شیب خط عمود میشه -۱/m.
• معادله خط: برای اینکه یه خط رو روی صفحه مختصات رسم کنیم، به یه معادله نیاز داریم. معادله خط معمولاً به شکل y = mx + b نوشته میشه که m شیب خط و b عرض از مبدأ هست.

مرحله اول: پیدا کردن شیب خط BC

برای اینکه بتونیم شیب خط BC رو پیدا کنیم، از فرمول زیر استفاده می‌کنیم:

شیب = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

که در اینجا (x₁, y₁) مختصات نقطه‌ی B و (x₂, y₂) مختصات نقطه‌ی C هستن. پس:

• x₁ = ۵
• y₁ = ۷
• x₂ = ۷
• y₂ = ۱۰

حالا این مقادیر رو توی فرمول قرار می‌دیم:

شیب BC = (۱۰ - ۷) / (۷ - ۵) = ۳ / ۲

پس شیب خط BC برابر با ۳/۲ هست.

مرحله دوم: پیدا کردن شیب خط AH

خط AH عمود بر خط BC هست، پس شیب اون منفی معکوس شیب BC میشه. یعنی:

شیب AH = -۱ / (۳/۲) = -۲/۳

پس شیب خط AH برابر با -۲/۳ هست.

مرحله سوم: پیدا کردن معادله خط BC

حالا که شیب خط BC رو داریم، می‌تونیم معادله اون رو پیدا کنیم. از فرمول y = mx + b استفاده می‌کنیم. می‌دونیم که شیب خط BC برابر با ۳/۲ هست، پس:

y = (۳/۲)x + b

برای اینکه مقدار b رو پیدا کنیم، باید یکی از نقاطی که روی خط BC قرار داره رو توی معادله قرار بدیم. مثلاً نقطه‌ی B(۵, ۷) رو قرار می‌دیم:

۷ = (۳/۲) * ۵ + b

۷ = ۱۵/۲ + b

b = ۷ - ۱۵/۲ = ۱۴/۲ - ۱۵/۲ = -۱/۲

پس معادله خط BC میشه:

y = (۳/۲)x - ۱/۲

مرحله چهارم: پیدا کردن معادله خط AH

حالا که شیب و یک نقطه از خط AH رو داریم، می‌تونیم معادله اون رو پیدا کنیم. می‌دونیم که شیب خط AH برابر با -۲/۳ هست و از نقطه‌ی A(۲, ۳) عبور می‌کنه. پس:

y - y₁ = m(x - x₁)

y - ۳ = (-۲/۳)(x - ۲)

y - ۳ = (-۲/۳)x + ۴/۳

y = (-۲/۳)x + ۴/۳ + ۳

y = (-۲/۳)x + ۴/۳ + ۹/۳

y = (-۲/۳)x + ۱۳/۳

پس معادله خط AH میشه:

y = (-۲/۳)x + ۱۳/۳

مرحله پنجم: پیدا کردن مختصات نقطه‌ی H

نقطه‌ی H جایی هست که خط BC و خط AH با هم تلاقی می‌کنند. یعنی مختصات نقطه‌ی H باید در هر دو معادله خط BC و خط AH صدق کنه. پس باید دو معادله رو با هم حل کنیم:

• y = (۳/۲)x - ۱/۲
• y = (-۲/۳)x + ۱۳/۳

چون هر دو معادله برابر با y هستن، می‌تونیم اون‌ها رو با هم مساوی قرار بدیم:

(۳/۲)x - ۱/۲ = (-۲/۳)x + ۱۳/۳

حالا باید x رو پیدا کنیم. برای این کار، xها رو یه طرف و عددها رو یه طرف می‌بریم:

(۳/۲)x + (۲/۳)x = ۱۳/۳ + ۱/۲

(۹/۶)x + (۴/۶)x = ۲۶/۶ + ۳/۶

(۱۳/۶)x = ۲۹/۶

x = (۲۹/۶) / (۱۳/۶) = ۲۹/۱۳

حالا که مقدار x رو پیدا کردیم، می‌تونیم اون رو توی یکی از معادلات قرار بدیم تا مقدار y رو پیدا کنیم. مثلاً توی معادله خط BC قرار می‌دیم:

y = (۳/۲) * (۲۹/۱۳) - ۱/۲

y = ۸۷/۲۶ - ۱۳/۲۶

y = ۷۴/۲۶ = ۳۷/۱۳

پس مختصات نقطه‌ی H برابر با (۲۹/۱۳, ۳۷/۱۳) هست.

بازبینی راه‌حل:

خب، حالا که راه‌حل رو نوشتیم، باید یه نگاه دقیق بهش بندازیم و ببینیم هیچ اشتباهی توش وجود نداره.

• صحت مطلق: تمام محاسبات رو دوباره بررسی کردم و مطمئن شدم که درست هستن.
• استحکام منطقی: هر مرحله از حل مسئله با یه دلیل منطقی انجام شده و هیچ پرشی توی استدلال وجود نداره.
• بهینگی: به نظر من این بهترین راه حل ممکن برای این مسئله هست. روش دیگه‌ای به ذهنم نمی‌رسه که ساده‌تر یا کارآمدتر باشه.
• کامل بودن: پاسخ به تمام جنبه‌های سوال پرداخته و هیچ مورد خاصی رو از قلم ننداختم.

پاسخ نهایی و اصلاح‌شده:

مختصات نقطه‌ی H برابر با (۲۹/۱۳, ۳۷/۱۳) هست.

راه حل تستی و کوتاه:

1. شیب BC = (۱۰-۷)/(۷-۵) = ۳/۲
2. شیب AH = -۲/۳
3. معادله BC: y = (۳/۲)x - ۱/۲
4. معادله AH: y = (-۲/۳)x + ۱۳/۳
5. حل دستگاه معادلات: x = ۲۹/۱۳, y = ۳۷/۱۳
6. مختصات H: (۲۹/۱۳, ۳۷/۱۳)